Задача :
Падіння в магнітному полі
|
УМОВА: Плоская немагнитная и незаряженная металлическая пластина падает под действием силы тяжести ребром вниз. Масса пластины равна m, площадь пластины — S, толщина — d, причем толщина много меньше ширины пластины. Падение происходит в однородном магнитном поле индукции B, направленном горизонтально и параллельно пластине (см. рис. 1). Сопротивление воздуха отсутствует.
Найдите ускорение, с которым падает пластина.
Розв'язок:
Все вычисления будем производить в системе единиц СИ.
Рассмотрим вначале случай равномерного движения. На заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле индукции B, действует сила Лоренца. Ее модуль равен FL = |q|vB, а направлена она перпендикулярно векторам скорости и индукции поля. Хоть пластина в целом электрически нейтральна, в ней есть положительные и отрицательные заряды, на которые действуют одинаковые по модулю, но противоположные по направлению силы Лоренца.
Поскольку пластина металлическая, в ней имеются свободные электроны,
которые под действием силы Лоренца перетекают на один край пластины,
создавая в ней разделение зарядов и, как следствие, электрическое поле и
разность потенциалов. Перемещение зарядов прекратится только тогда,
когда сила из-за возникшего электрического поля скомпенсирует силу
Лоренца во всей толще пластины (а поскольку пластина немагнитная,
внешнее поле B проникает в нее без искажений). Это случится
тогда, когда благодаря распределению зарядов во всей пластине
установится однородное электрическое поле напряженностью E = vB.
В конкретной геометрии этой задачи сила Лоренца направлена поперек пластины (см. рис. 2, слева). Значит, пластину можно представить в виде плоского конденсатора емкости C = ε0S/d, который спонтанно заряжается из-за движения в магнитном поле. Однородное поле напряженности E возникнет в пластине тогда, когда на ее противоположных сторонах возникнет равномерно распределенный заряд +Q и –Q, где
Отметим, что заряд на обкладках конденсатора пропорционален скорости движения.
Теперь представим себе, что пластина движется с постоянным ускорением a. В этом случае заряд на обкладках будет равномерно расти с течением времени.
Таким образом, поперек пластины потечет электрической ток, заряжающий конденсатор:
Поскольку магнитное поле проникает во всю толщу пластины, оно взаимодействует с этим током. Длина участка с током равна d, и отсюда получаем силу взаимодействия
где V — объем пластины. Эта сила направлена вверх, против направления ускорения (рис. 2, справа). Она слегка компенсирует силу тяжести, действующую на пластину, и поэтому пластина будет падать с ускорением a < g. Величина a находится из простого баланса сил
и оказывается равной
В конце следует сделать одно техническое замечание, касающееся области применимости этого ответа. При решении задачи мы предполагали, что распределение зарядов на пластине моментально подстраивается под изменившиеся условия. В реальности же в металле есть некоторое ненулевое сопротивление, из-за чего перетекание заряда поперек пластины требует некоторого времени. Поэтому если темп ускорения (то есть относительный прирост скорости) высок, полученный ответ перестает быть точным. Вычисления показывают, что это условие накладывает ограничение не на само ускорение, а на время с момента начала падения: ответ справедлив для времен много больших, чем время самопроизвольной разрядки этого конденсатора. Однако для металлов с хорошей проводимостью время разрядки исключительно мало, поэтому никакого практического ограничения тут не возникает.
Рассмотрим вначале случай равномерного движения. На заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле индукции B, действует сила Лоренца. Ее модуль равен FL = |q|vB, а направлена она перпендикулярно векторам скорости и индукции поля. Хоть пластина в целом электрически нейтральна, в ней есть положительные и отрицательные заряды, на которые действуют одинаковые по модулю, но противоположные по направлению силы Лоренца.
|
В конкретной геометрии этой задачи сила Лоренца направлена поперек пластины (см. рис. 2, слева). Значит, пластину можно представить в виде плоского конденсатора емкости C = ε0S/d, который спонтанно заряжается из-за движения в магнитном поле. Однородное поле напряженности E возникнет в пластине тогда, когда на ее противоположных сторонах возникнет равномерно распределенный заряд +Q и –Q, где
Отметим, что заряд на обкладках конденсатора пропорционален скорости движения.
Теперь представим себе, что пластина движется с постоянным ускорением a. В этом случае заряд на обкладках будет равномерно расти с течением времени.
Таким образом, поперек пластины потечет электрической ток, заряжающий конденсатор:
Поскольку магнитное поле проникает во всю толщу пластины, оно взаимодействует с этим током. Длина участка с током равна d, и отсюда получаем силу взаимодействия
где V — объем пластины. Эта сила направлена вверх, против направления ускорения (рис. 2, справа). Она слегка компенсирует силу тяжести, действующую на пластину, и поэтому пластина будет падать с ускорением a < g. Величина a находится из простого баланса сил
и оказывается равной
В конце следует сделать одно техническое замечание, касающееся области применимости этого ответа. При решении задачи мы предполагали, что распределение зарядов на пластине моментально подстраивается под изменившиеся условия. В реальности же в металле есть некоторое ненулевое сопротивление, из-за чего перетекание заряда поперек пластины требует некоторого времени. Поэтому если темп ускорения (то есть относительный прирост скорости) высок, полученный ответ перестает быть точным. Вычисления показывают, что это условие накладывает ограничение не на само ускорение, а на время с момента начала падения: ответ справедлив для времен много больших, чем время самопроизвольной разрядки этого конденсатора. Однако для металлов с хорошей проводимостью время разрядки исключительно мало, поэтому никакого практического ограничения тут не возникает.
Матеріл Ігоря Іванова (оригінал).
